Salut Adeline,
tu ne nous déranges pas, au contraire nous sommes là pour répondre à tes interrogations !
Concernant ce calcul de probabilité de loi binomiale, dans la "vraie vie" il y a effectivement deux façons de le résoudre : en calculant directement à partir de la formule, ce que tu as fait, et, en se servant des tables statistiques (dont on t'avait donné un extrait dans l'énoncé, enfin, plutôt projeté le jour de la colle :p vu que vous n'avez pas les tables de cette loi dans votre feuillet).
Si on prend ta méthode, celle de l'application de la formule générale, je suis d'accord avec ton calcul et ta simplification. Tu as bien remarqué que ce calcul de tête était assez compliqué... du coup on se sert de tables. Si tu regardes dans la table de la loi binomiale pour n=50 et p=0,05, on lit bien P(X<=1) = 0,2794.
Je ne sais pas comment a été trouvé la valeur donnée dans l'énoncé mais en fait elle correspond à 1-[P(X<=0)+P(X<=1)] soit 1-[P(X=0)+P(X=0)+P(X=1)]... cette répétition de P(X=0) entraine une valeur qui diffère avec la valeur que tu as calculé (qui est la bonne).
Donc pas d'inquiétude, tu avais le bon raisonnement, c'est une erreur sur les données de l'énoncé qui cause cette différence.
Le jour du concours, comme indiqué plus haut vous n'aurez pas les tables des lois binomiales donc vous ne pourrez vous fier qu'aux aides au calcul, comme c'était le cas pour la colle.